概率学角度分析超级大乐透中奖概率及期望 - 知乎

　　由于之前有知友看了双色球之后想看一期大乐透的中奖概率及期望分析，故分析一波。

　　目录

　　一、概念

　　二、规则

　　三、各奖级和奖金规定

　　四、中奖概率

　　五、期望回报

　　一、概念

　　大乐透（前区“35选5”＋后区“12选2”）是国家体育总局体彩中心为适应市场发展需要，丰富体育彩票的市场结构，经过慎重研究和广泛的市场调研，于2007年5月28日向全国推出的一种全新大盘彩票玩法。自2019年第19019期（2月20日开奖）实施新的开奖规则，13个中奖条件不变，6个奖级增至9个奖级。本文以新规则进行分析。

　　二、规则

　　彩民朋友从01-35共35个号码中，选取5个号码为前区号码，并从01-12共12个号码中选取2个号码为后区号码，组合为一注进行单式投注。

　　三、各奖级和奖金规定

　　体彩超级大乐透共设置9个奖级，其中一、二等奖为浮动奖金，三、四、五、六、七、八、九等奖为固定奖金。各奖级和奖金规定如下：

　　一等奖：当奖池资金低于1亿元时，奖金总额为当期奖金额减去固定奖总额后的78%与奖池中累积的奖金之和，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元。当奖池资金高于1亿元(含)且低于8亿元时，奖金总额包括两部分，第一部分为当期奖金额减去固定奖总额后的58%与奖池中累积的奖金之和，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元；第二部分为当期奖金额减去固定奖总额后的20%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元。当奖池资金高于8亿元（含）时，奖金总额包括两部分，第一部分为当期奖金额减去固定奖总额后的28%与奖池中累积的奖金之和，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元；第二部分为当期奖金额减去固定奖总额后的50%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元。

　　二等奖：奖金总额为当期奖金额减去固定奖总额后的22%，单注奖金按注均分，单注最高限额封顶500万元。

　　三等奖：单注奖金固定为10000元。

　　四等奖：单注奖金固定为3000元。

　　五等奖：单注奖金固定为300元。

　　六等奖：单注奖金固定为200元。

　　七等奖：单注奖金固定为100元。

　　八等奖：单注奖金固定为15元。

　　九等奖：单注奖金固定为5元。

　　四、中奖概率

　　大乐透的中奖概率为前区从35个球中不放回地抽出5个球，后区从12个球中不放回的抽出2个球。实际上服从超几何分布

　　其中a为前区抽中球的数量，b为后区抽中球的数量。从以上分布可以得出不同奖项的中奖概率：

　　一等奖（5+2）中奖概率为：P(X=5,Y=2)=1/21425712=0.0000047%；

　　二等奖（5+1）中奖概率为：P(X=5,Y=1)=1/1071286=0.0001%；

　　三等奖（5+0）中奖概率为：

　　P(X=5,Y=0)=1/476127=0.0002%；

　　四等奖（4+2）中奖概率为：

　　P(X=4,Y=2)=1/142838=0.0007%，2-4等奖的中奖率其实在量级上没有很大提升，但奖金却从几万降低到了3000；

　　五等奖（4+1）中奖概率为：

　　P(X=4,Y=1)=1/7142=0.014%，五等奖的中奖率终于相对前四等奖高了很多，达到了万分之一，和大部分股票打新的中签率差不多了哈哈；

　　六等奖（3+2）中奖概率为：

　　P(X=3,Y=2)=1/4925=0.02%；

　　七等奖（4+0）中奖概率为：

　　P(X=4,Y=0)=1/3174=0.03%，大乐透每三个级别的奖项看来概率都差不多，5-7等奖的中奖率也在量级上几乎没有提升；

　　八等奖（3+1、2+2）中奖概率为：

　　P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=2)=1/168=0.6%；

　　九等奖（3+0、1+2、2+1、0+2）中奖概率为：

　　P(X=3,Y=0)+P(X=1,Y=2)+P(X=2,Y=1)+P(X=0,Y=2)=1/16.6=6.02%

　　共计中奖率：6.69%，相比于双色球的整体中奖率6.71%稍低。

　　五、期望回报

　　大乐透的中奖金额相比双色球要高一些，我们以中一等奖1000w，二等奖为20w来计算，最后二元的中奖期望为1.2元。

　　也就是说，投入2元的超级大乐透，平均你可以拿到的收益为1元超出一些，相比于双色球的期望0.9377元来讲要稍微高一些，但一等奖的中奖率也会低一些。

　　注意：由于双色球和大乐透的一二等奖都是浮动奖金，这边以大乐透一等奖1000万，双色球一等奖500万来计算会有误差，可能存在不公平。

　　如双色球一等奖以1000w来计算的话，期望将提升为1.22，略高于大乐透的1.2；

　　如大乐透一等奖以500w来计算的话，期望将降为0.9667，反而会略高于双色球0.9377。

　　大约一等奖为800w元时，两者持平。

　　整体来看，大乐透的一等奖和整体中奖率都略低于双色球，但是实际的期望收益会受到两者一等奖和二等奖的浮动奖金的影响，但我个人认为两者的期望收益是很相近的，双色球还是大乐透挑自己喜欢的就行。

　　最后还是要说一下，小赌怡情，大赌伤身，在购买彩票的时候我们应该保持良好的心态。如果中奖了可以改善生活；如果没有中奖，就当作为我国的慈善事业做了贡献！

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